كاربرد رياضيات در پزشكي

________________________________________
روابط و معادلات رياضي در بخش‌هاي مختلف پزشكي از جمله روش‌هاي درمان رشد تومورها كاربرد دارند.
به گزارش خبرنگار «علمي» خبرگزاري دانشجويان ايران (ايسنا) منطقه خراسان، در سومين روز از هفته پژوهش در دانشكده رياضيات دانشگاه فردوسي سخنراني‌اي با موضوع «كاربرد رياضيات در پزشكي» توسط دكتر علي وحيديان كامياد، دكتراي تخصصي كنترل و بهينه سازي و استاد رياضيات كاربردي ارائه شد.
دكتر وحيديان كامياد گفت: در پزشكي زمينه‌هاي تحقيقاتي زيادي وجود دارد كه هم اكنون پژوهشگران علم پزشكي مشغول پيدا كردن پاسخي مناسب براي آن مسائل هستند.
وي افزود: يكي از روش هاي اصولي پژوهش در علوم پزشكي استفاده از رياضيات است چرا كه رشد بيماري ها قوانيني دارد كه هم اكنون در پي كشف آن هستند.
دكتر وحيديان كامياد با اشاره به تحقيقات گسترده درباره رياضيات پزشكي و رياضيات زيستي در چند دهه اخير در كشورهاي پيشرفته عنوان داشت: از جمله اين بيماري ها پديده رشد تومورها در انسانهاست كه قوانين رياضي دارد كه معمولاً به شكل سيستم هاي ديناميكي و معادلات ديفرانسيل هستند.
وي با اشاره به مدل هاي رياضي مقابله و درمان تومورها اظهار داشت: از جمله مدل هاي مقابله و درمان تومورها در انسان، گرمادرماني تومورها، ويروس درماني تومورها، ايمن درماني اشعه درماني و شيمي درماني تومورها است.
دكتر وحيديان كامياد افزود : تعامل نزديك پزشك و رياضيدان به درمان اصولي تر و بهينه تر كمك خواهد كرد و پزشك مي تواند با استفاده از معادلات رياضي در درمان بيماري و با استفاده از روش هاي باليني و مديريت بيماري به درمان اصولي بيماري در جهت كاهش عوارض و اثرات جانبي داروها در درمان تومورها بپردازد.
وي با اشاره به گرمادرماني تومورها به عنوان يكي از روش‌هاي درمان بهينه تومورها با استفاده از مدل‌هاي رياضي گفت: اين مدل هاي رياضي نشان مي‌دهد كه چگونه مي توان دماي بافت تومور را به 45 درجه رساند بدون اينكه بافت اطراف آسيب ببينند. در صورتي كه اعمال گرما به بافت تومور از طريق پوست بافت هاي سالم در مسير آن را از بين خواهد برد.
دكتر وحيديان كامياد افزود : براي درمان از اين طريق ابتدا معادلات مربوطه حل شده، سپس توسط رايانه به دستگاه خاص ايجاد گرما دستور داده مي شود تا در محل تومور ايجاد حرارت كند و از اين طريق تنها در محل همان تومور دما به ميزان معيني افزايش يافته و بافت تومور نابود شود.
اين مدرس دانشگاه همچنين به تكنيك ويروس درماني در درمان تومورها اشاره كرد و گفت : از طريق مدل هاي رياضي مي توان تعيين كرد كه چه ميزان زمان لازم است تا با توجه به رشد و تكثير ويروس ها و همچنين دامنه تومور موردنظر، ضايعه نابود و از آسيب بافت هاي اطراف جلوگيري شود.
وي همچنين به ايمني درماني به عنوان ديگر راه درمان تومورها اشاره كرد و اظهار داشت: با استفاده از مدل هاي رياضي، ايمني بدن از طريق افزايش ميزان اينترلوكين 2 كه بالطبع افزايش كارايي دستگاه ايمني بدن در مقابله با تومورها را به همراه دارد، مي توان با سلول هاي سرطاني مقابله كرد كه اين روش نيز هم اكنون در بسياري از كشورهاي پيشرفته در درمان اصولي تومورها استفاده مي‌شود.
اين استاد رياضيات از شيمي درماني و اشعه درماني به عنوان ديگر راه‌هاي درمان تومورها ياد كرد و گفت: همه اين روش هاي درماني فرمول ها و قوانين خاص رياضي دارند.
رمان سرطان با ریاضی !
گروهی از دانشمندان آمریکایی مدلی رایانه ای را ارائه کرده اند که براساس آن می توان ترکیبی از موثرترین روش های درمانی معالجه سرطان را با استفاده از آلگوریتم های ریاضی ارائه کرد. به گزارش مهر، پروژه تحقیقاتی لیزه دو فلیس استاد ریاضی کالج هاروی ماد در کالیفرنیا که با عنوان درمان سرطان با ریاضی» معرفی شده است که نشان می دهد که از ترکیب علم سرطان شناسی و ریاضی می توان بیشترین شانس را برای شناسایی و تشخیص درمان های موثر در مبازره با تومرها بدست آورد.این استاد دانشگاه چند سیستم ریاضی را برای ترکیب استراتژی ها مختلف ایمنی درمانی، شیمی درمانی و واکسینودرمانی شناسایی کرده است.دو فلیس که بررسی های خود را در کنگره سالانه «ائتلاف ملی برای یافته های علمی» در واشنگتن مطرح کرده است، در این خصوص توضیح داد : «ما یکسری از مدل های ریاضی خاص را توسعه داده ایم که به کمک آنها می توان دینامیک کاملتر واکنش های میان سلولهای نئوپلاستیکی، سیستم ایمنی و درمان های پزشکی سازگار را دریافت. از آنجا که این راه درصد خطر سلامت بیمار را تا حدقابل ملاحظه ای کاهش می دهد، بسیار حائز اهمیت است.»براساس مدیکال نیوز تو دی، این مدل ها با استفاده از شبیه سازی و تصویرسازی هندسی ویژگی های متعدد بیماری به روش مجازی درمان های موثر را ارائه می کند.درحقیقت با این روش، یک مدل ریاضی عرضه می شود که به اطلاعات متعدد افزایش سلولهای سرطانی و واکنش آنها با سیستم ایمنی ترجمه می شود. به این ترتیب پزشکان می توانند قبل از آغاز درمان سرطان با داروهای خطرناک شیمیایی که عوارض جانبی زیادی دارند، بهترین درمان را تشخیص دهند.
اساس ریاضیات بازسازی تصویر در رادیولوژی (پزشکی(
در این رساله اساس ریاضی روشهای تصویرسازی توضیح داده می‌شوند، که فرآیند بازسازی توسط کامپیوتر پردازش می‌شود. این روشها بسیار شبیه به فرآیند سیگنال در مهندسی الکترونیک می‌باشند. در مهندسی الکترونیک ، سیگنالهای یک بعدی بیشتر مورد توجه‌اند. در صورتیکه در بازسازی نگاره از سیگنالهای دو بعدی استفاده می‌شود. از این رو دو فصل اول این رساله بیشتر درباره سیگنالهای یک بعدی می‌باشد و فصل سوم به تشریح روشهای بازسازی تصویر می‌پردازد. از روشهای فرایند سیگنال در رادیولوژی به عنوان بازسازی نگاره، استفاده می‌شود. این رساله به سه قسمت مهم: مدلهای سیستم و تبدیلات ، فیلترینگ و بازسازی تصویر تقسیم می‌شود. فصل اول: نشان می‌دهد که چگونه روشهای ریاضی در مسائل رادیولژیکی بکار می‌روند. در این فصل مدلهای سیستم را معرفی و تئوری سیستمهای خطی را توضیح می‌دهیم. در اینجا اثر یک سیستم روی یک سیگنال ورودی و تبدیل آن به یک سیگنال خروجی مورد بررسی قرار گرفته و چند مثال از سیستمهای خطی ارائه می‌شوند. سپس نقش ویژه توابع و اعداد مختلط را در تبدیلات فوریه توضیح می‌دهیم. همچنین در این فصل روشهای آماری در فرایندهای تصادفی و فرایندهای تصادفی در اندازه‌گیری پارازیت در تصویرسازی توضیح داده می‌شوند. تبدیل فوریه روشی برای توضیح سیگنالها برحسب فرکانس می‌باشد، که برای درک عملگرها در سیستمها بسیار مفیدند. لذا خواص تبدیل فوریه برای کاربرد در کامپیوترهای دیجیتال توسط عملگر تبدیل فوریه توضیح داده می‌شود. ارتباط بین تبدیل فوریه و گسستگی تبدیل فوریه به تشریح نمونه‌برداری کمک می‌کند که در فصل دوم تشریح می‌شود. فصل دوم: به تشریح عمل فیلترینگ می‌پردازد. فیلترینگ یا صاف کردن مربوط به اصلاح سیگنالها می‌شود، تا یک تصویر را از پارازیت سیگنالهای ناخواسته صاف کند. فیلترینگ یک قسمت مهم در بازسازی تصویر است از این رو نحوه فیلترینگ سیگنالهای تصادفی که در درک ساختن تصویر مهم می‌باشند مورد بحث قرار می‌گیرند. سپس روشهای جبر خطی و فیلتر تصادفی با هم مقایسه می‌شوند. قسمتی از فصل دوم مربوط به فیلتر وینر (Wiener) می‌باشد که برای درک تصویرسازی در حضور پارازیت بسیار مهم است . فصل سوم: به بررسی ساختن تصویر و کاربردهای رادیولوژیکی می‌پردازد. در این فصل با پنج روش مهم بازسازی نگاره آشنا می‌شویم. بازسازی از نمونه‌برداری فوریه روشی برای NMR است . بازسازی تصویر در حضور پارازیت و بازسازی تصویر در غیاث پارازیت در توموگرافی کامپیوتری مورد استفاده دارند. بازسازی توموگرافی گسیل تک فوتون (SPECT) و بازسازی از نمونه‌های چندگانه در قسمتهای آخر فصل سوم توضیح داده می‌شوند و در انتها به تشریح تصویرسازی با گسیل پوزیترون می‌پردازیم به طور کلی فصلها و قسمتهای این رساله از هم مستقل نمی‌باشند و اغلب به هم وابسته‌اند. تقسیم‌بندی مفصل‌تر فصلها در فهرست مطالب آمده‌اند. این رساله تمام مبانی ریاضیات مورد استفاده در تصویرسازی رادیولوژی را از مفاهیم ساده پایه شروع کرده و سپس آنرا به حوزه ریاضیات پیشرفته مرتبط می‌کند. دانشجویان پزشکی یا رزیدنتهای رادیولوژی یا متخصصین رادیولوژی که بخواهند اساس ریاضی تصویرسازی کامپیوتری را درک کنند بدون اشکال و مراجعه به کتابهای ریاضی دیگر می‌توانند از این رساله استفاده کنند و درک خود را به سطح ریاضیات پیشرفته در این مباحث گسترش دهند
ارتباط علم ریاضیات با علوم زیستی
دانشمندان حوزه علوم دقيق(hard sciences) _ علومي كه با قوت رياضي، فرمول ها و معادلات پشتيباني مي شوند _ به طور سنتي نگاهي تحقير آميز به پژوهش ها در سوي ديگر طيف علوم دارند، اين نگاه تحقير آميز _ در حالي كه بودجه هاي دولتي از فيزيك به زيست شناسي و پزشكي تغيير جهت داده است _ اندكي تغيير كرده است. اما در زماني كه زيست شناسان نشان مي دهند كه آنها مي توانند به همان اندازه همكارانشان در علوم دقيق پژوهش هاي كمي انجام دهند در حال ناپديد شدن است.يك نمونه از اين دگرگوني را مي توان در پژوهش ها درباره سرطان مشاهده كرد. به گفته «هانس اوتمر» رياضيدان دانشگاه مينه سوتا در مينياپوليس آمريكا كه در مقاله اي در شماره آينده «نشريه زيست شناسي رياضي» به بازبيني اين موضوع پرداخته است، درك فرآيندهاي ميكروسكوپي امكان تكوين الگوهاي رياضي سودمندي از اين بيماري را به وجود آورده است.در واقع اين زمينه تحقيقاتي در حال شكوفايي است و يك نشريه علمي ديگر، نشريه «سيستم هاي ديناميكي مداوم و مجزا سري هاي (Discrete and Continues Dynamical System_Series B) در فوريه سال ميلادي جاري شماره ويژه اي را به اين موضوع اختصاص داده است.خانم «زيوا آگور» و همكارانش در مؤسسه رياضيات زيستي پزشكي (Institute for Medical biomathematics) در «بن آتاروث» اسرائيل در مقاله اي در اين شماره ويژه الگويي را ارائه مي كنند كه تلاش مي كند چگونگي عمل رگزايي (angiogenesis ) _ فرآيندي كه غدد سرطاني به وسيله آن رگ هاي خوني خودشان را ايجاد مي كنند _ را توصيف كند.هنگامي كه يك غده يا تومور در ابتدا از يك سلول كه به علت جهش ژنتيكي داراي قابليت تكثير نامحدود شده است به وجود مي آيد، در شرايط معمول رشد آن در اندازه اي در حد يك ميلي متر محدود مي شود. اين امر ناشي از آن است كه معمولاً رگ هاي خوني اطراف به درون تومور نفوذ نمي كنند، بنابراين سلول هاي عمق تومور نمي توانند به مواد مغذي و اكسيژن دست يابند و مي ميرند.
تومورهايي در اين اندازه ندرتاً باعث به خطر افتادن سلامتي انسان مي شوند و در واقع بسياري از تومورها در همين اندازه باقي مي مانند. اما در برخي از تومورها جهش هاي ژنتيكي بيشتر امكان توليد شدن مواد شيميايي به نام عوامل رشد (growth factors) را فراهم مي كند كه تشكيل عروق خوني درون غده را تحريك مي كنند. اين فرآيند نه تنها به اين علت خطرناك است كه امكان رشد تومور و بزرگتر شدن اندازه آن را فراهم مي كند، بلكه از اين لحاظ هم خطر آفرين است كه اكنون سلول هاي سرطاني مي توانند وارد جريان خون شوند، در بدن به گردش درآيند، در مكان ديگر مستقر شوند و به رشد خود ادامه دهند. اين پراكنده شدن سلول هاي سرطاني كه باعث تشكيل تومورهاي ثانوي مي شود «متاستاز» (metastasis) ناميده مي شود و در بسياري از موارد همين متاستازها هستند كه مرگ بيمار را موجب مي شوند.دكتر آگور به كمك تصويربرداري با تشديد مغناطيسي يا MRI تومورهايي را كه در حال رگزايي بودند مورد بررسي قرار داد و سپس نظامي از معادلات ديفرانسيل را براي شبيه سازي آنچه كه مي ديد ترتيب داد.
معادلات ديفرانسيل سرعت تغيير يك متغير (مثلاً ميزان عامل رشد توليد شده) را به مقدار فعلي آن و در مواردي به مقدار آن در گذشته ربط مي دهند و اين معادلات تقريباً اساس الگوهاي رياضي سرطان هستند؛ الگوهايي كه معمولاً متشكل از مجموعه اي از معادلات ديفرانسيل «همزمان»، هر كدام در مورد يك متغير، هستند كه نتايج هر كدام وارد معادله بعدي مي شود. حل كردن چنين نظام هايي از معادلات مشكل است؛ در واقع تنها به ندرت ممكن است راه حل دقيق آنها را يافت. در عوض پژوهشگران به شبيه سازي هاي عددي يا در موارد ديگر به توصيف تحليلي شكل تقريبي راه حل تكيه مي كنند.
در معادله هاي دكترآگور متغيرها شامل تعداد سلول ها در تومور، غلظت عوامل رشد رگزايي درون آن و حجم عروقي خوني حمايت كننده از آن هستند. نتايج بررسي هاي اين گروه پژوهشي آن بود كه شرايطي وجود دارد كه در آن اندازه يك تومور، به جاي رشد مداوم، نوسان مي كند. به عبارت ديگر رشد تومور مهار مي شود. اگر مشابه چنين وضعيتي را بتوان در شرايط واقعي به وجود آورد، شيوه نيرومندي براي كنترل كردن رشد تومور به دست مي آيد.جلوگيري كردن از رگزايي مانع انتشار تومور خواهد شد. اما اگر تومور در حدي پيشرفت كرده باشد كه اين كار ممكن نباشد روش هاي متفاوتي براي مقابله با آن به كار گرفته مي شود. در گذشته تنها سه راه براي درمان سرطان موجود بود. اولين راه برداشتن سلول هاي سرطاني به وسيله جراحي بود. دومين راه درمان كردن سرطان به وسيله مواد شيميايي بود كه رشد سلول هاي سرطاني را مهار مي كردند يا آنها را مي كشتند. و بالاخره سومين راه متلاشي كردن اين سلول ها به وسيله اشعه يونيزه كننده يا گرما بود. در چند سال گذشته روش چهارمي تكوين يافته است. اين راه جديد تحريك كردن دستگاه ايمني بدن است. از آنجايي كه سلول هاي سرطاني حاوي جهش هاي ژنتيكي هستند، پروتئين هايي توليد مي كنند كه براي دستگاه ايمني بدن «بيگانه» محسوب مي شوند.
دستگاه ايمني براي حمله به چنين سلول هايي طراحي شده است و در واقع اغلب خود به خود به آنها حمله مي كند. اما گاهي براي به كار انداختن دستگاه ايمني نياز به يك عامل كمكي به صورت يك تحريك خارجي مثلاً يك دارو وجود دارد.از آنجايي كه ايمني درماني (immunotherapy) سرطان هنوز مراحل ابتدايي خود را طي مي كند، امكانات درماني اين روش و رفتار سلول هاي سرطاني هنگام تعامل با دستگاه ايمني كاملاً درك نشده است. اين وضع سبب مي شود كه اين حوزه به خصوص زمينه اي بارور براي الگوسازي رياضي فراهم كند.خانم «دنيس كيرشنر» از دانشگاه ميشيگان در «آن آربور» آمريكا در يكي ديگر از مقالات آن شماره ويژه بررسي هايش در مورد يك شيوه درمان جديد سرطان با نام درمان با RNA كوچك مداخله كننده (siRNA) small interfering RNA را توصيف ميكند.
اين شيوه درماني عمل مولكولي را به نام «عامل رشد تغيير شكل دهنده بتاTGF _beta مهار مي كند كه تومورهاي بزرگ براي گريز از دستگاه ايمني از آن استفاده مي كنند.معادله هاي مدل دكتر كيرشنر چهار كميت را توصيف مي كنند: تعداد «سلول هاي تأثير كننده effecter cells دستگاه ايمني (سلول هايي كه با تومور مقابله مي كنند)، تعداد سلول هاي تومور، ميزان انيترلوكين-۲ (پروتئيني كه توانايي بدن را در مبارزه با سرطان تشديد مي كند) و متغير ديگري كه مربوط به اثرات TGF _beta مي شود. در حال حاضر درمان با siRNA تنها در محيط آزمايشگاهي و بر روي كشت هاي سلولي امتحان شده است؛ بنابراين شبيه سازي رياضي دكتر كيرشنر مي تواند راه سريعي براي تصميم گرفتن در اين مورد باشد كه آيا استفاده كردن از اين روش ارزش دنبال كردن را در تجربيات حيواني واقعي دارد يا نه. كيرشنر در مقاله اش ادعا مي كند كه اين روش نتايج اميدبخشي داشته است. دراين الگو، يك دوز روزانه از siRNA در طول يك دوره متوالي ۱۱ روزه در خنثي كردن اثرات TGF _beta موفق بود و بنابراين دستگاه ايمني را قادر كرد تا تومور را تحت كنترل در آورد، گرچه در حذف كردن كامل تومور موفق نبود.گرچه تحقيقات آگور و كيرشنر اميدبخش هستند اما همه الگوهاي رياضي مورد بحث قرار گرفته در مورد سرطان مانند آنها انتزاعي نيستند.
«پپ چاروستاني» و همكارانش در دانشگاه كاليفرنيا در لوس آنجلس به بررسي چگونگي اثر دارويي به نام «گليوك» (gleevec) بر ضد يك نوع سرطان خون به نام لوسمي ميلوئيدي مزمن پرداخته اند.داروي گليوك، با مانع شدن از فسفريلاسيون پروتئيني به نام Bcr-Abl عمل مي كند كه براي رشد سلول هاي سرطاني ضروري است. فسفريلاسيون يك فرآيند انتقال انرژي است. انرژي مورد نياز از مولكولي به نام ATP (آدنوزين تري فسفات) كه نتيجه نهايي فرآيند تنفس سلولي است به دست مي آيد. از آنجايي كه اين مدل به سرطاني خاص و دارويي خاص متمركز است، نسبت به ساير بررسي ها مشروح تر و داراي جزئيات بيشتري است. اين تحقيق بر معادله هاي پايه اي «كينتيك بيو شيميايي» (Biochemical kinetics) يعني بررسي اينكه مواد شيميايي بيولوژيك با چه سرعتي با هم تعامل مي كنند، متمركزاست. داروي گليوك به طرزي موفقيت آميز در برخي از بيماران باعث فروكش كردن بيماري مي شود، اما در مرحله نهايي لوسمي ميلوئيدي مزمن كه «بحران بلاستي» blast crisis ناميده مي شود مؤثر نيست. در اين مرحله تكثير سلول هاي سرطاني شدت مي يابد و تعداد زيادي سلول هاي جوان و تمايز نيافته (بلاست) در خون مشاهده مي شود و بيماري وارد مرحله حادش مي شود. مدل رياضي چاروستاني كه كاملاً با رفتار دارو در موش هاي آزمايشگاهي تطبيق مي كند، نشان مي دهد كه سلول هاي سرطاني در مرحله «بحران بلاستي» دارو با سرعتي بيش از آن حد از خود خارج مي كنند كه دارو امكان تأثير به عنوان مهاركننده ATP را داشته باشد. اين نتيجه پيشنهاد كننده اين راه حل است كه ممكن است استفاده كردن از ماده اي شيميايي كه فرآيند پمپ كردني را كه به وسيله آن سلول هاي سرطاني دارو را از خود خارج مي كنند مهار كند، بتواند تأثير دارو را در اين مرحله حاد بيماري افزايش دهد.در هر حال فيزيكدانان هنوز مي توانند از خود راضي باقي بمانند؛ هيچكدام از اين مدل ها بازنمايي حقيقتاً دقيقي از آن چه در درون و اطراف يك تومور رخ مي دهد نيستند. موقعيت يك تومور بسيار پيچيده تر از اين هاست. اما اين مدل ها بينش سودمندي درباره تومورها را ارائه مي دهند. همانطور كه «ريچارد فيمن»، فيزيكدان و برنده جايزه نوبل گفته است: «رياضيات راهي ژرف براي توصيف كردن طبيعت است و هر تلاشي براي بيان كردن طبيعت با اصول فلسفي يا دريافت هاي مكانيكي ساده انگارانه شيوه اي كارآمد نيست.» اگر قرار باشد دركي درخور از سرطان به دست آيد، الگوهايي رياضي مانند اينها مطمئناً نقش برجسته اي در اين مسير خواهند داشت.